Prueba por inducción que transponer una matriz no cambia su determinante.
¿Qué sucede con el determinante cuando se transpone la matriz?
El determinante de la traspuesta de una matriz cuadrada es igual al determinante de la matriz, es decir, |At|=|A| … Entonces su determinante es 0. Pero el rango de una matriz es el mismo que el rango de su transpuesta, entonces At tiene un rango menor que n y su determinante también es 0.
¿La inversión de una matriz cambia el determinante?
Se cumple que det(AB)=det(A)det(B), por lo que det(A)det(A−1)=1. En otras palabras, una matriz invertible tiene un determinante invertible (multiplicativamente). (Si trabaja sobre un campo, esto significa que el determinante no es cero).
¿El intercambio de filas cambia el determinante?
Si sumamos una fila (columna) de A multiplicada por un escalar k a otra fila (columna) de A, entonces el determinante no cambiará. Si intercambiamos dos filas (columnas) en A, el determinante cambiará de signo.
