Si A es una matriz de m × n, entonces ATA y AAT tienen los mismos valores propios distintos de cero … Por lo tanto, Ax es un vector propio de AAT correspondiente al valor propio λ. Se puede usar un argumento análogo para mostrar que todo valor propio distinto de cero de AAT es un valor propio de ATA, completando así la demostración.
¿Son iguales los valores propios de AAT y ATA?
Las matrices AAT y ATA tienen los mismos valores propios distintos de cero. La sección 6.5 mostró que los vectores propios de estas matrices simétricas son ortogonales.
¿ATA es lo mismo que AAT?
Dado que AAT y ATA son realmente simétricos, se pueden diagonalizar con matrices ortogonales. De la afirmación anterior se deduce (dado que las multiplicidades geométrica y algebraica coinciden) que AAT y ATA tienen los mismos valores propios.
¿ATA tiene valores propios distintos?
Cierto. Por ejemplo, si A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , entonces la ecuación característica det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 no tiene raíz repetida. Por lo tanto, todos los valores propios de A son distintos y A es diagonalizable. 3.35 Para cualquier matriz real A, AtA siempre es diagonalizable.
¿Pueden diferentes vectores propios tener el mismo valor propio?
Dos vectores propios distintos correspondientes al mismo valor propio son siempre linealmente dependientes. Dos vectores propios distintos correspondientes al mismo valor propio son siempre linealmente dependientes.
