¿Cuándo es cíclico un grupo abeliano?

2024 Autor: Fiona Howard | [email protected]. Última modificación: 2024-01-10 06:36

Informalmente, un grupo es cíclico si es generado por un solo elemento. Es abeliano si la multiplicación conmuta. Un grupo es cíclico si puede ser generado por un solo elemento.

¿Es un grupo abeliano cíclico?

Todos los grupos cíclicos son abelianos, pero un grupo abeliano no es necesariamente cíclico. Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales. En un grupo abeliano, cada elemento está en una clase de conjugación por sí mismo, y la tabla de caracteres involucra potencias de un solo elemento conocido como generador de grupo.

¿Cómo se prueba que un grupo abeliano es cíclico?

Prueba

1. Sea G un grupo cíclico con generador g∈G. Es decir, tenemos G=⟨g⟩ (cada elemento en G es una potencia de g.)
2. Sean a y b elementos arbitrarios en G. Entonces existe n, m∈Z tales que a=gn y b=gm.
3. Por lo tanto, obtenemos ab=ba para a arbitraria, b∈G. Así G es un grupo abeliano.

¿Cómo saber si un grupo es cíclico?

4 Respuestas. Un grupo finito es cíclico si, y sólo si, tiene precisamente un subgrupo de cada divisor de su orden. Entonces, si encuentra dos subgrupos del mismo orden, entonces el grupo no es cíclico, y eso puede ayudar algunas veces.

¿Qué es un grupo cíclico explicado con un ejemplo?

Por ejemplo, (Z/6Z)^×={1, 5} , y como 6 es el doble de un primo impar, esto es un grupo cíclico. … Cuando (Z/nZ)^× es cíclico, sus generadores se denominan raíces primitivas módulo n. Para un número primo p, el grupo (Z/pZ)^{× siempre es cíclico y consta de los elementos distintos de cero del campo finito de orden p.}