En matemáticas, un subconjunto de un espacio topológico se llama en ninguna parte denso o raro si su cierre tiene un interior vacío. En un sentido muy amplio, es un conjunto cuyos elementos no están muy agrupados en ninguna parte. Por ejemplo, los números enteros no son densos entre los reales, mientras que una bola abierta no lo es.
¿Cómo se prueba que un conjunto no es denso en ninguna parte?
Un subconjunto A ⊆ X se llama nada denso en X si el interior de la clausura de A está vacío, es decir, (A)◦=∅. Dicho de otro modo, A no es denso en ninguna parte si y solo si está contenido en un conjunto cerrado con interior vacío. Pasando a los complementos, podemos decir de manera equivalente que A no es denso en ninguna parte si y solo si su complemento contiene un conjunto abierto denso (¿por qué?).
¿Qué es un conjunto denso en todas partes?
Un subconjunto A de un espacio topológico X es denso para el cual el cierre es todo el espacio X (algunos autores usan la terminología en todas partes denso). Una definición alternativa común es: un conjunto A que se cruza con todo subconjunto abierto no vacío de X.
¿1 N no es denso en ninguna parte?
Un ejemplo de un conjunto que no es cerrado pero aún no es denso en ninguna parte es {1n|
∈N}. Tiene un punto límite que no está en el conjunto (es decir, 0), pero su cierre aún no es denso en ninguna parte porque no caben intervalos abiertos dentro de {1n|n∈N}∪{0}.
¿Qué significa que un conjunto sea denso?
En topología y áreas relacionadas de las matemáticas, un subconjunto A de un espacio topológico X se llama denso (en X) si todo punto x en X pertenece a A o es un punto límite de A; es decir, la clausura de A constituye todo el conjunto X.
